【題目】如圖,在四棱錐中,平面.底面是菱形,.
(Ⅰ)求證:直線平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正切值;
(Ⅲ)已知在線段上,且,求二面角的余弦值.
【答案】(I)見解析;(II);(III)
【解析】
(I)由菱形的性質(zhì),得AC⊥BD;由PA⊥平面ABCD證出PA⊥BD,結(jié)合AC、PA是平面PAC內(nèi)的相交直線,可得BD⊥平面PAC;
(II)過B作BE⊥AD于點E,連結(jié)PE.由PA⊥平面ABCD得PA⊥BE,結(jié)合PA∩AD=A證出BE⊥平面PAD,可得∠BPE就是直線PB與平面PAD所成角.Rt△BPE中,利用三角函數(shù)的定義算出tan∠BPE,即得結(jié)果;
(III)設(shè)F為CM的中點,連結(jié)BF、DF,由等腰△BMC與等腰△DMC有公共的底面,證出∠BFD為二面角B﹣MC﹣D的平面角.然后在△BFD中,利用余弦定理,算出cos∠BFD,即得結(jié)果.
(I)∵底面ABCD是菱形,∴AC⊥BD
∵PA⊥平面ABCD,BD平面ABCD,∴PA⊥BD
又∵AC、PA是平面PAC內(nèi)的相交直線,
∴直線BD⊥平面PAC;
(II)過B作BE⊥AD于點E,連結(jié)PE
∵PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD,∴PA⊥BE
∵BE⊥AD,PA∩AD=A
∴BE⊥平面PAD,可得∠BPE就是直線PB與平面PAD所成角
∵Rt△BPE中,BE,PE
∴tan∠BPE,即PB與平面PAD所成角的正切值等于;
(III)設(shè)F為CM的中點,連結(jié)BF、DF
∵△BMC中,BM=BC,∴BF⊥CM.同理可得DF⊥CM
∴∠BFD就是二面角B﹣MC﹣D的平面角
在△BFD中,BD=2,BF=DF,
∴由余弦定理,得cos∠BFD
由此可得二面角B﹣MC﹣D的余弦值等于.
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【題目】已知三棱錐(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中,四邊形為邊長等于的正方形,和均為正三角形,在三棱錐中:
(I)證明:平面平面;
(Ⅱ)若點在棱上運動,當(dāng)直線與平面所成的角最大時,求二面角的余弦值.
圖一
圖二
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【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在極坐標系(與直角坐標系取相同的長度單位,且以原點為極點,以軸正半軸為極軸)中,圓的方程,
(1)求直線和圓的直角坐標方程;
(3)設(shè)圓與直線交于點、,若點的坐標為,求,
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【題目】已知橢圓的離心率為,左、右焦點為,點在橢圓上,且點關(guān)于原點對稱,直線的斜率的乘積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線經(jīng)過點,且與橢圓交于不同的兩點,若,判斷直線的斜率是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù), .
(1)設(shè).
①若函數(shù)在處的切線過點,求的值;
②當(dāng)時,若函數(shù)在上沒有零點,求的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù),且(),求證:當(dāng)時, .
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【題目】為評估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能,從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100個零件作為樣本,測量其直徑后,整理得到如表:
直徑/ | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合計 |
件數(shù) | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
經(jīng)計算,樣本的平均值,標準差,以頻率值作為概率的估計值.
(1)為評判一臺設(shè)備的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進行評判(表示相應(yīng)事件的頻率):①;②;③.評判規(guī)則為:若同時滿足上述三個不等式,則設(shè)備性能等級為甲;僅滿足其中兩個,則設(shè)備性能等級為乙;若僅滿足其中一個,則設(shè)備性能等級為丙;若全部不滿足,則設(shè)備性能等級為。嚺袛嘣O(shè)備的性能等級.
(2)將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品.
(i)從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上任意抽取2個零件,計算其中次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望;
(ii)從樣本中任意抽取2個零件,計算其中次品個數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
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【題目】如圖,三棱柱的各棱長均為2,側(cè)面 底面,側(cè)棱與底面所成的角為.
(Ⅰ)求直線與底面所成的角;
(Ⅱ)在線段上是否存在點,使得平面平面?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】(5分)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第五節(jié)的容積為( )
A. 1升 B. 升 C. 升 D. 升
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