Question

5．拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，對稱軸與拋物線相較于點M，與x軸相交于點N，點P是線段MN上的一動點，過點P作PE⊥CP交x軸于點E．
（1）直接寫出拋物線的頂點M的坐標(biāo)是（1，4）；
（2）當(dāng)點E與點O（原點）重合時，求點P的坐標(biāo)；
（2）點P從M運動到N的過程中，求動點E的運動的路徑長．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線y=-x²+2x+3與對稱軸x=1的交點坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)出P點坐標(biāo)（1，y）其中（0≤y≤4），利用$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{CP}$=0，列出方程，求出點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)出點E（x，0），P（1，y），利用$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{CP}$=0，得出x與y的解析式，求出x的最值，得出動點E的運動路徑長．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+2x+3，對稱軸是x=1，當(dāng)x=1時，y=4；
∴拋物線的頂點M的坐標(biāo)是（1，4），故答案為：（1，4）；
（2）當(dāng)點E與點O（原點）重合時，設(shè)P（1，y），其中（0≤y≤4），
又點E（0，0），C（0，3），
∴$\overrightarrow{PE}$=（-1，-y），
$\overrightarrow{CP}$=（1，y-3），
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{CP}$=-1×1+（-y）×（y-3）=0，
即y²-3y+1=0，
y=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，y=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
∴點P的坐標(biāo)為（1，$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$）或（1，$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）；
（3）根據(jù)題意，設(shè)點E（x，0），P（1，y），其中（0≤y≤4），
又點C（0，3），
∴$\overrightarrow{PE}$=（x-1，-y），
$\overrightarrow{CP}$=（1，y-3），
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{CP}$=（x-1）×1+（-y）×（y-3）=0，
即x=y²-3y+1=${（y-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{5}{4}$，
∵0≤y≤4，∴y=$\frac{3}{2}$時，x取得最小值-$\frac{5}{4}$；
y=4時，x取得最大值5；
∴x_max-x_min=5-（-$\frac{5}{4}$）=$\frac{25}{4}$；
即點P從M運動到N的過程中，動點E的運動的路徑長為$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)最值的應(yīng)用問題，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．