Question

【題目】設函數(shù)，

（1）用定義證明：函數(shù)是R上的增函數(shù)；

（2）化簡，并求值：；

（3）若關于x的方程在上有解，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）； （3）.

【解析】

（1）直接利用用定義，通過f（x1）﹣f（x2）化簡表達式，比較出大小即可證明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性；

（2）化簡f（t）+f（1﹣t），求出它的值是1，再利用此結(jié)論求的值；

（3）變量分離可得，利用換元法結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)求值域即可

（1）證明：設任意x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=﹣=，

∵x1＜x2，

∴4x1＜4x2，∴4x1﹣4x2＜0，

又2+4x1＞0，2+4x2＞0．

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在R上是增函數(shù)；

（2）對任意t，

∴對于任意t，

，

，

（3）

令，則且在單調(diào)遞減，

∴