【題目】對于數(shù)列{an},若an+2﹣an=d(d是與n無關的常數(shù),n∈N*),則稱數(shù)列{an}叫做“弱等差數(shù)列”,已知數(shù)列{an}滿足:a1=t,a2=s且an+an+1=an+b對于n∈N*恒成立,(其中t,s,a,b都是常數(shù)).
(1)求證:數(shù)列{an}是“弱等差數(shù)列”,并求出數(shù)列{an}的通項公式;
(2)當t=1,s=3時,若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求出a、b的值,并求出{an}的前n項和Sn;
(3)若s>t,且數(shù)列{an}是單調遞增數(shù)列,求a的取值范圍.
【答案】
(1)證明:∵數(shù)列{an}滿足:a1=t,a2=s且an+an+1=an+b對于n∈N*恒成立,
∴an+1=an+b﹣an,
an+2=a(n+1)+b﹣an+1=(an+a+b)﹣(an+b)+an=a+an,
∴an+2﹣an=a,
∴數(shù)列{an}是“弱等差數(shù)列”.
∵a1=t,a2=s,an+2﹣an=a,
∴{an}中奇數(shù)項是以t為首項,以a為公差的等差數(shù)列,偶數(shù)列是以s為首項,以a為公差的等差數(shù)列,
∴an=
(2)解:∵當t=1,s=3時,數(shù)列{an}是等差數(shù)列,
∴a1=1,a2=3,3+a3=2a+b,
∴a3=2a+b﹣3,2a+b﹣3+a4=3a+b,∴a4=a+3,
∴ ,解得a=4,b=0,
∴數(shù)列{an}是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,
∴Sn=2n+ =n2+n
(3)解:∵s>t,且數(shù)列{an}是單調遞增數(shù)列,
∴a2k+1﹣a2k=(t+ka)﹣[s+(k﹣1)a]=t﹣s+a>0,
∴a>s﹣t.
∴a的取值范圍是(s﹣t,+∞)
【解析】(1)由已知得an+2=a(n+1)+b﹣an+1=(an+a+b)﹣(an+b)+an=a+an , 由此能證明數(shù)列{an}是“弱等差數(shù)列”.由a1=t,a2=s,an+2﹣an=a,得到{an}中奇數(shù)項是以t為首項,以a為公差的等差數(shù)列,偶數(shù)列是以s為首項,以a為公差的等差數(shù)列,由此能求出數(shù)列{an}的通項公式.(2)由遞推公式求出a1=1,a2=3,a3=2a+b﹣3,a4=a+3,由此利用等差數(shù)列性質能求出a=4,b=0,從而得到數(shù)列{an}是首項為2,公差為2的等差數(shù)列,由此能求了Sn . (3)由已知得a2k+1﹣a2k=(t+ka)﹣[s+(k﹣1)a]=t﹣s+a>0,由經能求出a的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】海安市江淮文化園是以江淮歷史文化為底蘊的人文景觀,整個園區(qū)由白龍故里、先賢景區(qū)、鳳山書院、中國名人藝術館群四大景區(qū)組成.據(jù)估計,其中鳳山書院景區(qū)每天的水電、人工等固定成本為1000元,另每增加一名游客需另外增加成本10元,鳳山書院景區(qū)門票單價x(元)(x∈N*)與日門票銷售量(張)的關系如下表,并保證鳳山書院景區(qū)每天盈利.
x | 20 | 35 | 40 | 50 |
y | 400 | 250 | 200 | 100 |
(1)在坐標圖紙中,根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),描出實數(shù)對的對應點,并確定y與x的函數(shù)關系式;
(2)求出的值,并解釋其實際意義;
(3)請寫出鳳山書院景區(qū)的日利潤的表達式,并回答該景區(qū)怎樣定價才能獲最大日利潤?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f()=f(x1)-f(x2),且當x>1時,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的單調性;
(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設等差數(shù)列的前項和為, , ,對每個正整數(shù),在與之間插入個3,得到一個新的數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前項和為.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線:y=k (x+2)與圓O:相交于A、B兩點,O是坐標原點,ABO的面積為S.
(1)試將S表示成的函數(shù)S(k),并求出它的定義域;
(2)求S的最大值,并求取得最大值時k的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),當x<0時,.
(1)求f(2)的值;
(2)用定義法判斷y=f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調性.
(3)求的解析式
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù),
(1)用定義證明:函數(shù)是R上的增函數(shù);
(2)化簡,并求值:;
(3)若關于x的方程在上有解,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=.
(1)求f(2)+f,f(3)+f的值;
(2)求證:f(x)+f是定值;
(3)求f(2)+f+f(3)+f+…++f的值.
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