Question

（本題滿分14分

已知橢圓：的離心率為，以原點為圓心，

橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

⑴求橢圓C的方程；

⑵設，、是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同的點，連結交橢圓

于另一點，求直線的斜率的取值范圍；

⑶在⑵的條件下，證明直線與軸相交于定點．

 

Answer 1

【答案】

⑴；

⑵或；

⑶見解析

【解析】本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，解題的關鍵是確定幾何量之間的關系，利用直線與橢圓聯(lián)立，結合韋達定理求解

（1）根據(jù)橢圓的性質，離心率得到參數(shù)a,c的關系，然后利用線與圓相切得到參數(shù)b的值，進而得到橢圓的方程。

（2）設出直線與橢圓的方程聯(lián)立方程組，結合韋達定理，和判別式大于零得到直線的斜率的范圍。

（3）表示直線ME的方程，以及結合點的坐標的對稱關系，得到k的關系式，進而得到直線與軸相交于定點

解:⑴由題意知，

所以，即，

又因為，所以，

故橢圓的方程為：．-----------4分

⑵由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為  ①

聯(lián)立消去得：，

由得，

又不合題意，

所以直線的斜率的取值范圍是或．---8分

⑶設點，則，

直線的方程為，

令，得，

將代入整理，得．     ②

由得①代入②整理，得，

所以直線與軸相交于定點．         ----------------14分