Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，
AB=PC=2，PA=PB= ．

（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）設(shè)H是PB上的動(dòng)點(diǎn)，求CH與平面PAB所成最大角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)PO、CO，

∵PA=PB= ，AB=2，∴△PAB為等腰直角三角形，

∴PO=1，PO⊥AB，

∵AB=BC=2，∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，

∴ ，又PC=2，

∴PO2+CO2=PC2，∴PO⊥CO，

又AB∩CO=O，AB平面ABCD，CO平面ABCD，

∴PO⊥平面ABC，又PO平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABCD．

（2）

解：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OC⊥AB，OC平面ABCD，

∴OC⊥平面PAB，

∴∠CHO為CH與平面PAB所成的角．

∵tan∠CHO= ，∴當(dāng)OH⊥PB時(shí)，OH取得最小值，此時(shí)tan∠CHO取得最大值．

當(dāng)OH⊥PB時(shí)，OH= = ．

∴tan∠CHO= = ．

【解析】（1）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)PO、CO，由PA=PB可得PO⊥AB，利用特殊三角形的性質(zhì)計(jì)算PO，OC，PC，可證PO⊥OC，于是PO⊥平面ABCD，故平面PAB⊥平面ABCD；（2）由面面垂直的性質(zhì)可知∠CHO為CH與平面PAB所成的角，故當(dāng)OH最小值，tan∠CHO= 取得最大值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．