Question

【題目】設數列中前兩項給定，若對于每個正整數，均存在正整數（）使得，則稱數列為“數列”.

（1）若數列為的等比數列，當時，試問：與是否相等，并說明數列是否為“數列”；

（2）討論首項為、公差為的等差數列是否為“數列”，并說明理由；

（3）已知數列為“數列”，且 ，記，，其中正整數， 對于每個正整數，當正整數分別取1、2、、時的最大值記為、最小值記為. 設，當正整數滿足時，比較與的大小，并求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）為“數列”；（2）當時,為“數列”；當時,不是“數列”；（3）；當時，取最大值為

【解析】

（1）由可求得,則,,進而比較與的情況,可得與相等,即可得到為“數列”；

（2）分別討論與的情況,當時,利用等差數列的通項公式代入中,求解,即可判斷；

（3）由題意可知,即,當時,設,,則,可推導得到,即,同理可得,由,,,可得,,進而作差整理可得,即可判斷數列的單調性,從而求解.

（1）與相等,

因為是等比數列,所以,

則,

當時,,,

所以,

所以與相等；

因為對每個正整數，均存在且,使得

所以為“數列”

（2）因為首項為、公為“數列”差為的等差數列,

所以,

當時,對每個正整數,均存在正整數且使得,

所以當時,為“數列”；

當時,

,

若,

則,解得,不符合題意,

所以不是“數列”

（3）由題可知,對于每個正整數,均有,,

且對于所有正整數,均有,即,

對于每個正整數,選取恰當的正整數,使得,,

由,

則,

即,

類似的,

,即,

因為,,,

所以,,

所以,

因為,所以,

所以,

即,

所以正整數時,成立,即正整數時,成立,

所以在正整數滿足時,當時,取得最大值為