Question

有下列五個(gè)命題：
①{a_n}為等比數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和，則S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈成等比數(shù)列；
②在同一坐標(biāo)系中，當(dāng)x∈（-

π

2

，

π

2

）時(shí)，y=sinx與y=tanx的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
③在一個(gè)四面體中，四個(gè)面有可能全是直角三角形；
④f（x）=x²-2x+5，x∈（-∞，1），則f^-1（x）=1+

x-4

，x∈（4，+∞）；
⑤當(dāng)m²+

1

n(m-n)

的最小值為4．
其中直命題是

 

（填出所有真命題的編號(hào)）．

Answer 1

分析：對(duì)于①由于{a_n}為等比數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和，若S_n=0，則可以加以判斷；
對(duì)于②由題意畫(huà)出在同一坐標(biāo)系中，當(dāng)x∈（-

π

2

，

π

2

）時(shí)，畫(huà)出y=sinx與y=tanx的圖象即可判斷；
對(duì)于③在一個(gè)四面體中，四個(gè)面有可能全是直角三角形，通過(guò)畫(huà)出實(shí)際圖形加以判斷；
對(duì)于④f（x）=x²-2x+5利用反函數(shù)的定義求出反函數(shù)即可；
對(duì)于⑤m²+

1

n(m-n)

利用均值不等式即可判斷．

解答：解：①因?yàn)閧a_n}為等比數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和，在若S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈求和為0時(shí)，則就不成等比數(shù)列；
②由題意畫(huà)出圖象為：易有當(dāng)x∈（-

π

2

，

π

2

）時(shí)，y=sinx與y=tanx的圖象交點(diǎn)只有一個(gè)為（0，0），所以②正確；

③有空間想象出圖象為：

在正四棱錐中，點(diǎn)M為邊CD的中點(diǎn)，則四棱錐P-ODM即為四個(gè)面全為直角三角形的四棱錐，所以③正確；
④由于函數(shù)f（x）=x²-2x+5，x∈（-∞，1），所以值域?yàn)椋?，+∞），令y=x²-2x+5=（x-1）²+4
?f-1(x)=1+

x-4

 （4，+∞），所以④正確；
⑤令y=m²+

1

n(m-n)

由于m，n的大小及正負(fù)都不知，有均值不等式的條件可以知道⑤錯(cuò)．
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反函數(shù)的定義及求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)，還考查了學(xué)生的空間想象能力，及正弦函數(shù)與正切函數(shù)的圖象，還考查了均值不等式．