Question

【題目】已知拋物線，斜率為的直線交拋物線于，兩點，當直線過點時，以為直徑的圓與直線相切．

（1）求拋物線的方程；

（2）與平行的直線交拋物線于，兩點，若平行線，之間的距離為，且的面積是面積的倍，求和的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或者，．

【解析】

（1）設直線方程為，代入得，根據中點坐標公式，結合韋達定理可得圓心坐標，利用弦長公式可得圓的直徑，利用圓心到直線的距離等于半徑，列方程求解即可得到拋物線的方程；（2）利用點到直線距離公式、弦長公式，結合三角形面積公式可得，同理可得，利用 的面積是面積的倍列方程求解即可.

（1）設AB直線方程為代入得

設∴

當時，，AB的中點為

依題意可知，解之得

拋物線方程為.

（2）O到直線的距離為，

.

因為平行線之間的距離為，則CD的直線方程為

.

依題意可知，即

化簡得，∴代入

∴或者.