Question

若當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，不等式（1-a）x²-4x+6＞0恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：當(dāng)x=0時(shí)，原不等式即是6＞0．成立．當(dāng)x≠0時(shí)，原不等式兩邊同除以x²，可化為a＜

6

x2

-

4

x

+1=

6

x2

-

4

x

+1=6(

1

x

-

1

3

)2+

1

3

，令t=

1

x

，則t＜-

1

3

或t＞1，且a＜6(t-

1

3

)2+

1

3

，令f（t）=6(t-

1

3

)2+

1

3

，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求其最小值即可．

解答： 解：當(dāng)x=0時(shí)，不等式（1-a）x²-4x+6＞0顯然成立，
當(dāng)x≠0時(shí)，不等式（1-a）x²-4x+6＞0可化為，
a＜

6-4x

x2

+1，
即，a＜

6

x2

-

4

x

+1=

6

x2

-

4

x

+1=6(

1

x

-

1

3

)2+

1

3

，
∵-3＜x＜1且x≠0，
∴

1

x

＜-

1

3

或

1

x

＞1，
令t=

1

x

，則t＜-

1

3

或t＞1，且a＜6(t-

1

3

)2+

1

3

，
令f（t）=6(t-

1

3

)2+

1

3

，
則根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，
f（t）在(-∞，-

1

3

)上遞減，在（1，+，∞）上遞增，且f（-

1

3

）=f（1）=3，
∴f（t）＞3，
∵當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，不等式（1-a）x²-4x+6＞0恒成立，
∴a≤3．
故答案為：（-∞，3]．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．