Question

f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，滿(mǎn)足f（x）+f（y）=f（xy）．
（1）求證：f(x)-f(y)=f(

x

y

)；
（2）若f（4）=-4，解不等式f(x)-f(

1

x-12

)≥-12．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）+f（y）=f（xy），將x代換為

x

y

，代入恒等式中，即可證明f(x)-f(y)=f(

x

y

)；
（2）利用恒等式，將不等式f(x)-f(

1

x-12

)≥-12等價(jià)轉(zhuǎn)化為f[x（x-12）]≥f（64），再利用f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，即可列出關(guān)于x的不等式，求解不等式，即可得到不等式f(x)-f(

1

x-12

)≥-12的解集．

解答： 解：（1）證明：∵f（x）+f（y）=f（xy），
將x代換為

x

y

，則有f(

x

y

)+f(y)=f(

x

y

•y)=f(x)，
∴f(x)-f(y)=f(

x

y

)；
（2）∵f（x）+f（y）=f（xy），
∴-12=-4+（-4）+（-4）=f（4）+f（4）+f（4）=f（64），
∵f(x)-f(y)=f(

x

y

)，
∴f（x）-f（

1

x-12

）=f[x（x-12）]，
∴不等式f(x)-f(

1

x-12

)≥-12等價(jià)于f[x（x-12）]≥f（64），
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴

x＞0 1 x-12 ＞0 x(x-12)≤64

，即

x＞0 x＞12 -4≤x≤16

，
∴12＜x≤16，
∴不等式f(x)-f(

1

x-12

)≥-12的解集為{x|12＜x≤16}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)把抽象不等式化為具體不等式，也就是將不等式進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性去掉“f”．屬于中檔題．