Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=an2+2a_n（n∈N^*）
（I）證明數(shù)列{lg（1+a_n）}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）記b_n=

1

an

+

1

an+2

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由an+1=

a

2 n

+2an，變形為an+1+1=(an+1)2，兩邊取對(duì)數(shù)可得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），即可證明數(shù)列{lg（a_n+1）}是等比數(shù)列．
（II）由an+1=

a

2 n

+2an，兩邊同取倒數(shù)可得

2

an+1

=

1

an

-

1

an+2

，可得bn=2(

1

an

-

1

an+1

)，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵an+1=

a

2 n

+2an，
∴an+1+1=(an+1)2，
兩邊取對(duì)數(shù)可得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1）；
又a₁=2，∴數(shù)列{lg（a_n+1）}是以lg3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴lg(an+1)=2n-1lg3，即an+1=32n-1；
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=32n-1-1；
（Ⅱ）由an+1=

a

2 n

+2an，兩邊同取倒數(shù)可得

2

an+1

=

1

an

-

1

an+2

，即

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，
∴bn=2(

1

an

-

1

an+1

)，
∴S_n=2[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)]=2(

1

a1

-

1

an+1

)=1-

2

32n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)得到等比數(shù)列的方法、通過(guò)取倒數(shù)利用“裂項(xiàng)求和”求數(shù)列的和等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．