在△ABC中,a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判斷三角形的形狀.
△ABC為等腰或直角三角形
方法一 已知等式可化為
a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]
∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA
由正弦定理可知上式可化為:
sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA
∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0
∴sin2A=sin2B,由0<2A,2B<2
得2A=2B或2A=-2B,
即A=B或A=-B,∴△ABC為等腰或直角三角形.
方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB
由正、余弦定理,可得
a2b= b2a
∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)
即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0
∴a=b或a2+b2=c2
∴△ABC為等腰或直角三角形.
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