Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，g（x）=xe^1-x，（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若對任意給定的x₀∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)后判定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求最值；（2）先化簡g（x），得到其值域，將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)0＜m≤1時，f（x）=m在區(qū)間（0，e]上有兩個不同的根．通過分類討論確定兩個不同的根時a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x-1-2lnx，f′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，在區(qū)間[2，e]上為增函數(shù)，
又f（1）=0＞f（e）=e-3，
則f（x）_max=f（1）=0，
f（x）_min=f（2）=1-2ln2．
（2）∵g'（x）=（1-x）e^1-x，
則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1]上為增函數(shù)，在區(qū)間[1，e]上為減函數(shù)，
又g（0）=0＜g（e）=e^2-e，g（1）=1，
則函數(shù)g（x）的值域為（0，1]．
則原問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)0＜m≤1時，f（x）=m在區(qū)間（0，e]上有兩個不同的根．
而f′(x)=2-a-

2

x

=

(2-a)x-2

x

．
當(dāng)a≥2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上為減函數(shù)，不符合題意．
當(dāng)2-

2

e

≤a＜2時，有

2

2-a

≥e，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上為減函數(shù)，不符合題意．
當(dāng)a＜2-

2

e

時，有0＜

2

2-a

＜e，
此時函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

2

2-a

]上為減函數(shù)，在區(qū)間[

2

2-a

，e]上為增函數(shù)，
而當(dāng)x趨于零時，f（x）趨于正無窮，且最小值為f(

2

2-a

)．
要使f（x）=m在區(qū)間（0，e]上有兩個不同的根，則f(

2

2-a

)＜m≤f(e)．
又0＜m≤1，且f(

2

2-a

)≤f(1)=0，
故只要f（e）≥1，得a≤2-

3

e-1

．
而2-

2

e

＞2-

3

e-1

，
從而有a≤2-

3

e-1

．

點評：本題第一問比較簡單，第2問要先化簡g（x），求出其值域后將問題轉(zhuǎn)化，且轉(zhuǎn)化后也需要討論單調(diào)性以確定何時有兩個不同的根，屬于難題．