Question

15．設雙曲線中心是坐標原點，實軸在y軸上，離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$，已知點P（0，5）到雙曲線的最近距離是2，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義，由點P（0，5）到此雙曲線上的點的最近距離為2，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最大（�。┲祮栴}來討論，得到a、b應滿足的另一關系式．從而求出a²、b²，本題得解．

解答 解：依題意，設雙曲線的方程為$\frac{y^2}{a^2}$-$\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）．
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，c²=a²+b²，∴a²=4b²．
設M（x，y）為雙曲線上任一點，則
|PM|²=x²+（y-5）²
=b²（$\frac{y^2}{a^2}$-1）+（y-5）²
=$\frac{5}{4}$（y-4）²+5-b²（|y|≥2b）．
①若4≥2b，則當y=4時，
|PM|_min²=5-b²=4，得b²=1，a²=4．
從而所求雙曲線方程為$\frac{y^2}{4}$-x²=1．
②若4＜2b，則當y=2b時，
|PM|_min²=4b²-20b+25=4，
得b=$\frac{7}{2}$（舍去b=$\frac{3}{2}$），b²=$\frac{49}{4}$，a²=49．
從而所求雙曲線方程為$\frac{y^2}{49}$-$\frac{{4{x^2}}}{49}$=1．

點評 本題主要考查雙曲線的標準方程，結合雙曲線的基本性質(zhì)--離心率、基本關系，考查兩點間的距離公式．考查學生的運算能力．