Question

7．已知m∈R，直線l：mx-（m²+1）y=4m和圓C：x²+y²-8x+4y+16=0
（Ⅰ）求直線l斜率的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在直線l，使直線l將圓分割成弧長(zhǎng)的比值為$\frac{1}{3}$的兩段圓��？若存在，求出直線1的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）寫(xiě)出直線的斜率利用基本不等式求最值；
（Ⅱ）直線與圓相交，注意半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形．

解答 解：（Ⅰ）直線l的方程可化為y=$\frac{m}{1+{m}^{2}}$x-$\frac{4m}{{m}^{2}+1}$，
此時(shí)斜率k=$\frac{m}{1+{m}^{2}}$，
即km²-m+k=0，k=0時(shí)，m=0成立；
又∵△≥0，∴1-4k²≥0，
所以，斜率k的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
（Ⅱ）能．由（1知l的方程為y=k（x-4），
其中|k|≤$\frac{1}{2}$，
圓C的圓心為C（4，-2），半徑r=2；
圓心C到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
由|k|≤$\frac{1}{2}$，得d≥$\frac{4}{\sqrt{5}}$＞1，即d＞$\frac{r}{2}$，
從而，若l與圓C相交，則圓C截直線l所得的弦所對(duì)的圓心角小于$\frac{2π}{3}$，
所以l能將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為$\frac{1}{3}$的兩段�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓及不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．