Question

設函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：
①對任意正數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②當x＞1時，f（x）＜0；
③f（3）=-1．
（Ⅰ）求f（1）、f（

1

9

）的值；
（Ⅱ）證明：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）令x=y=1，求出f（1）=0，令x=y=3求出f（9），令x=9，y=

1

9

，求出f（

1

9

）；
（Ⅱ）0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，則由②得f（

x2

x1

）＜0，再由①得到f（x₂）＜f（x₁），由函數(shù)的單調(diào)性即可得證．

解答： （Ⅰ）解：令x=y=1，得f（1）=2f（1），即f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f（9）+f（

1

9

）=f（1）=0，得f（

1

9

）=2．
（Ⅱ）證明：若0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
則由②得f（

x2

x1

）＜0，
∴f（x₂）=f（

x2

x1

•x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和運用，考查抽象函數(shù)值的求法：賦值法．屬于中檔題．