Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n=2a_n-1（S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和），數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列且滿足b₁=a₄，b₄=a₂；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=2a_n-1，得S_n-1=2a_n-1-1（n≥2），兩式相減可得遞推式，由遞推式可判斷{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，從而可求a_n；
（2）由（1）易求b₁，b₄，從而可求通項(xiàng)b_n，|b_n|，分n≤5，n≥6兩種情況進(jìn)行討論可求得T_n．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-1，
∴S_n-1=2a_n-1-1（n≥2），
∴a_n=2a_n-2a_n-1，∴a_n=2a_n-1，
又a₁=1≠0，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
an=2n-1．
（2）由（1）知b1=a4=24-1=8，b4=a2=22-1=2，
∵{b_n}為等差數(shù)列，
∴其公差d=

b4-b1

4-1

=

2-8

4-1

=-2，
∴b_n=b₁+（n-1）d=8+（n-1）×（-2）=10-2n，
∴|b_n|=|10-2n|=

10-2n，n≤5 2n-10，n≥6

，
∴當(dāng)n≤5時(shí)，Tn=8n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n2+9n；
當(dāng)n≥6時(shí)，Tn=-52+9×5+(2+4+…+2n-10)=20+

(2+2n-10)×(n-5)

2

=20+（n-4）（n-5）=n²-9n+40；
綜上可知Tn=

-n2+9n，n≤5 n2-9n+40，n≥6

．

點(diǎn)評：該題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查分類討論思想，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中檔題．