Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB⊥平面BCE，DC⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=

2π

3

．
（ I）求證：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-EB-D的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取BE的中點(diǎn)O，連OC，OF，DF，可利用條件得OC∥FD，再利用條件證得OC⊥平面ABE，即可得到平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）因?yàn)槎�面角A-EB-D與二面角F-EB-D相等，即找二面角F-EB-D的平面角為∠FOD即可．

解答： （Ⅰ）證明：取BE的中點(diǎn)O，連OC，OF，DF，則2OF與BA平行且相等．
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD與BA平行且相等，
∴OF與CD平行且相等，
∴OC∥FD；
∵BC=CE，∴OC⊥BE，
又AB⊥平面BCE．
∴OC⊥平面ABE．∴FD⊥平面ABE．
從而平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）解：二面角A-EB-D與二面角F-EB-D相等，
由（Ⅰ）知二面角F-EB-D的平面角為∠FOD．
BC=CE=2，∠BCE=120°，OC⊥BE得BO=OE=

3

，OC=1，
∴OFDC為正方形，
∴∠FOD=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．