Question

11．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，其中a₁=1，S_n=3S_n-1+1（n＞1，n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式與等比數列的通項公式即可得出；
（2）利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）由S_n=3S_n-1+1（n＞1，n∈N^*）得S_n+1=3S_n+1，
∴S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），即a_n+1=3a_n，（n＞1，n∈N^*），
又a₁=1，得S₂=3a₁+1=a₁+a₂，
∴a₂=3，∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3．
∴數列{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列，
∴a_n=3^n-1．
（2）∵數列{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列，
∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首項為1，公比為$\frac{1}{3}$的等比數列，
∴T_n=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$[1-（$\frac{1}{3}$）ⁿ]．

點評 本題考查了遞推式的應用、等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．