Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值．
（2）若函數(shù)F（x）=

f(x)-a

x

在[1，e]上的最小值為

3

2

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=lnx+1（x＞0），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值．
（2）F′（x）=

x+a

x2

，由此根據(jù)實(shí)數(shù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的值．

解答： 解（本小題滿分12分）
（1）∵f′（x）=lnx+1（x＞0），
令f′（x）≥0，即lnx≥-1=lne^-1．
∴x≥e^-1=

1

e

，∴x∈[

1

e

，+∞）．
同理，令f′（x）≤0，可得x∈（0，

1

e

]．
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[

1

e

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

1

e

]，
由此可知y=f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

．
（2）F′（x）=

x+a

x2

，
當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
F（x）_min=F（1）=-a=

3

2

，
∴a=-

3

2

∉[0，+∞），舍去．
當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減，在（-a，+∞）上單調(diào)遞增，
若a∈（-1，0），F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
F（x）_min=F（1）=-a=

3

2

，
∴a=-

3

2

∉（-1，0），舍去；
若a∈[-e，-1]，F(xiàn)（x）在[1，-a]上單調(diào)遞減，在[-a，e]上單調(diào)遞增，
∴F（x）_min=F（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，
a=-

e

∈[-e，-1]；
若a∈（-∞，-e），F(xiàn)（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
F（x）_min=F（e）=1-

a

e

=

3

2

，
∴a=-

e

2

∉（-∞，-e），舍去．
綜上所述：a=-

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的最小值的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．