Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為1，過點M（3，0）的直線與橢圓C相交于兩點A，B
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=

OP

（O為坐標原點），當|AB|＜

3

時，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得e=

c

a

=

3

2

，

2b2

a

=1，又a²=b²+c²，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），設(shè)AB：y=k（x-3），聯(lián)立

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，
過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為1，
∴e=

c

a

=

3

2

，

2b2

a

=1，又a²=b²+c²，
解得a=2，b=1，c=

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
設(shè)AB：y=k（x-3），
聯(lián)立

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，
△=24²k⁴-16（9k²-1）（1+4k²）＞0，
解得k2＜

1

5

，x1+x2=

24k2

1+4k2

，x₁•x₂=

36k2-4

1+4k2

，

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
x=

1

t

(x1+x2)=

24k2

t(1+4k2)

，
y=

1

t

(y1+y2)=

1

t

[k(x1+x2)-6k]=

-6k

t(1+4k2)

，
由點P在橢圓上得

(24k2)2

t2(1+4k2)2

+

144k2

t2(1+4k2)2

=4，
36k²=t²（1+4k²），
又曲|AB|=

1+k2

|x1-x2|＜

3

，
∴（1+k²）（x₁-x₂）²＜3，
（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]＜3，
（1+k²）[

242k4

(1+4k2)2

-

4(36k2-4)

1+4k2

]＜3，
∴（8k²-1）（16k²+13）＞0，
∴8k²-1＞0，k2＞

1

8

，
∴

1

8

＜k2＜

1

5

，
由36k²=t²（1+4k²），得t2=

36k2

1+4k2

=9-

9

1+4k2

，
∴3＜t²＜4，∴-2＜t＜-

3

或

3

＜t＜2．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式的合理運用．