Question

已知偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}，若f（x）在（-∞，0）上為單調(diào)減函數(shù)，且f（-2）=0，則不等式x•f（x）＜0解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得 f （2）=0，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＜-2或x＞2 時，f（x）＞0，當(dāng)-2＜x＜2時，f（x）＜0．由此易求得x•f（x）＜0的解集．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，且f （-2）=0，
∴f （2）=0，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
故當(dāng)x＜-2或x＞2 時，f（x）＞0，
當(dāng)-2＜x＜0或0＜x＜2時，f（x）＜0．
由不等式x•f（x）＜0可得x與f（x）異號．
∴x•f（x）＜0的解集為 （-∞，-2）∪（0，2）．
故答案為：（-∞，-2）∪（0，2）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，判斷出當(dāng)x＜-2或x＞2 時，f（x）＞0，當(dāng)-2＜x＜2時，f（x）＜0，是解題的關(guān)鍵．