Question

若x+y=1，x，y∈R₊，求

1

x

+

1

y

和

2

x

+

1

y

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：將x+y=1寫成1=x+y，即應(yīng)用常數(shù)代換，然后化簡整理，應(yīng)用基本不等式，求出最小值，并求出取最小值時(shí)的x，y的值．

解答： 解：∵x+y=1，x，y∈R₊，
∴

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）×1
=（

1

x

+

1

y

）×（x+y）
=2+

x

y

+

y

x

≥2+2

x y • y x

=4，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

1

2

時(shí)，

1

x

+

1

y

取最小值4；
又

2

x

+

1

y

=（

2

x

+

1

y

）×1
=（

2

x

+

1

y

）×（x+y）
=3+

x

y

+

2y

x

≥3+2

x y • 2y x

=3+2

2

，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

y，即x=2-

2

，y=

2

-1，

2

x

+

1

y

取最小值3+2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查基本不等式及應(yīng)用求最值，特別注意“一正二定三等”，做到基本不等式的應(yīng)用最多一次，本題是一道易錯(cuò)題，應(yīng)用基本不等式求最值，一定要檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件．