Question

已知f（x）=2ax-

1

x

-（2+a）lnx（a≥0）
（1）當a=1時，求f（x）的極值；
（2）當a＞0時，討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若對任意的a∈（2，4），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）a=1時，求出f（x）、f′（x），在定義域內(nèi)解f′（x）＞0，f′（x）＜0，由導數(shù)符號變化規(guī)律可得極值點、極值；
（2）f′（x）=2a+

1

x2

-（2+a）•

1

x

=

2ax2-(2+a)x+1

x2

，根據(jù)極值點

1

a

與

1

2

的大小關系分三種情況討論，在定義域內(nèi)由導數(shù)符號可求單調(diào)區(qū)間；
（3）由（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|對任意的a∈（2，4），x₁，x₂∈[1，3]恒成立，得（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max，由（2）根據(jù)f（x）的單調(diào)性可求|f（x₁）-f（x₂）|_max，分離出參數(shù)m后再化為函數(shù)的最值即可；

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=2x-

1

x

-3lnx，f′（x）=2+

1

x2

-

3

x

=

2x2-3x+1

x2

=

(2x-1)(x-1)

x2

，
由f′（x）＞0得0＜x＜

1

2

或x＞1；由f′（x）＜0得

1

2

＜x＜1．
可知f（x）在（0，

1

2

）上是增函數(shù)，在（

1

2

，1）上是減函數(shù)．在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）的極大值為f（

1

2

）=3ln2-1，f（x）的極小值f（1）=1．
（2）f（x）=2ax-

1

x

-（2+a）lnx，f′（x）=2a+

1

x2

-（2+a）•

1

x

=

2ax2-(2+a)x+1

x2

，
①當0＜a＜2時，f（x）在（0，

1

2

）和（

1

a

，+∞）上是增函數(shù)，在（

1

2

，

1

a

）上是減函數(shù)；
②當a=2時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；                  
③當a＞2時，f（x）在（0，

1

a

）和（

1

2

，+∞）上是增函數(shù)，在（

1

a

，

1

2

）上是減函數(shù)；
（3）當2＜a＜4時，由（2）可知f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（3）-f（1）=4a-（2+a）ln3+

2

3

，
由（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|對任意的a∈（2，4），x₁，x₂∈[1，3]恒成立，
∴（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max，即（m-ln3）a-2ln3＞4a-（2+a）ln3+

2

3

對任意2＜a＜4恒成立，
∴m＞4+

2

3a

對任意2＜a＜4恒成立，
由于2＜a＜4，∴m≥

13

3

．

點評：該題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立問題，考查轉化思想，考查學生分析解決問題的能力．