Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，M為BD₁的中點(diǎn)，N在A₁C₁上，且滿足|A₁N|=3|NC₁|．
（1）求MN的長；
（2）試判斷△MNC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出|MN|=

6

4

a．
（2）由

MN

=（-

1

4

a，

1

4

a，

1

2

a），

MC

=（-

1

2

a，

1

2

a，-

1

2

a），知

MN

•

MC

=

1

8

a2+

1

8

a2-

1

4

a2=0，由此得到△MNC是直角三角形．

解答： 解：（1）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方體邊長為a，
則B（a，a，0），D₁（0，0，a），
A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），
C（0，a，0），M（

1

2

a，

1

2

a，

1

2

a），N（

1

4

a，

3

4

a，a），
∴|MN|=

( 1 4 a- 1 2 a)2+( 3 4 a- 1 2 a)2+(a- 1 2 a)2

=

6

4

a．
（2）∵

MN

=（-

1

4

a，

1

4

a，

1

2

a），

MC

=（-

1

2

a，

1

2

a，-

1

2

a），

NC

=（-

1

4

a，

1

4

a，-a），
∴

MN

•

MC

=

1

8

a2+

1

8

a2-

1

4

a2=0，
∴MN⊥MC，
∴△MNC是直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查線段長的求法，考查三角形形狀的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．