Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a（x∈R），其中a為實數(shù)．
（Ⅰ）當a=-1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有且僅有一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)零點的判定定理,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=-1時，求導數(shù)，可得切線斜率，即可求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅲ）極大值小于0或極大值大于0，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=x³-x²-x+1，∴f′（x）=3x²-2x-1，f（2）=1，
∴f′（2）=7，
∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=7x-13；
（Ⅱ）由f′（x）＞0可得x＜-

1

3

或x＞1，f′（x）＜0，可得-

1

3

＜x＜1，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（-∞，-

1

3

），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

3

，1），
∴f（x）的極大值為f（-

1

3

）=

5

27

+a，極小值為f（1）=a-1；
（Ⅲ）f（x）=x³-x²-x+a=（x-1）²（x+1）+a-1．
由此可知x取足夠大的正數(shù)時f（x）＞0，取足夠小的負數(shù)時f（x）＜0，
∴y=f（x）與x軸至少有一個交點．
∵函數(shù)f（x）有且僅有一個零點，
∴

5

27

+a＜0或a-1＞0，
∴a＜-

5

27

或a＞1．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于中檔題．