Question

給定以下命題：
（1）函數(shù)y=x+cosx在區(qū)間(-

π

2

，

π

2

)上有唯一的零點(diǎn)；
（2）向量

a

與向量

b

共線，則向量

a

與向量

b

方向相同或是方向相反；
（3）若角α=β，則一定有tanα=tanβ；
（4）若?x₀∈R，使f′（x₀）=0，則函數(shù)f（x）在x=x₀處取得極大或是極小值．
則上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)為（　　）

A．4個(gè)

B．3個(gè)

C．2個(gè)

D．1個(gè)

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可判斷函數(shù)y=x+cosx在區(qū)間(-

π

2

，

π

2

)上有唯一的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)兩個(gè)向量中有零向量時(shí)，結(jié)論不正確；（3）若角α=β=

π

2

，則tanα=tanβ不成立；
（4）f′（x₀）=0，函數(shù)f（x）在x=x₀的左右附近，導(dǎo)數(shù)符號(hào)不改變時(shí)，結(jié)論不成立．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)y′=1-sinx．∵x∈(-

π

2

，

π

2

)，∴y′＞0，∴函數(shù)y=x+cosx在區(qū)間(-

π

2

，

π

2

)上單調(diào)增
．∵x∈(-

π

2

，

π

2

)，∴y∈(-

π

2

，

π

2

)，∴函數(shù)y=x+cosx在區(qū)間(-

π

2

，

π

2

)上有唯一的零點(diǎn)，故（1）是真命題；
（2）中未注意零向量，當(dāng)兩個(gè)向量中有零向量時(shí)，結(jié)論不正確，所以（2）為假命題，
（3）若角α=β=

π

2

，則tanα=tanβ不成立，故（3）為假命題；
（4）f′（x₀）=0，函數(shù)f（x）在x=x₀的左右附近，導(dǎo)數(shù)符號(hào)改變時(shí)，函數(shù)f（x）在x=x₀處取得極大或是極小值，否則不成立，故（4）為假命題．
綜上知，（2）（3）（4）為假命題
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的極值，考查向量知識(shí)，考查三角函數(shù)，注意結(jié)論成立的條件是關(guān)鍵．