Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+a，x∈[-1，1]
（1）若函數(shù)f（x）在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2，2]？若存在，求實(shí)數(shù)a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，限制a的取值范圍；
（2）首先，假設(shè)存在，然后，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x-a）²+a-a²，
∴對(duì)稱(chēng)軸x=a，
∵x∈[-1，1]
∵函數(shù)f（x）在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，
∴-1＜a＜1，
實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，1），
（2）當(dāng)a≤-1時(shí)，
函數(shù)f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
所以

f(-1)=1+2a+a=-2 f(1)=1-2a+a=2

，
∴a=-1，
當(dāng)a≥1時(shí)，
函數(shù)f（x）在[-1，1]上為減函數(shù)，
∴

f(-1)=1+2a+a=2 f(1)=1-2a+a=-2

，
此時(shí)，無(wú)解，
當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，
函數(shù)f（x）在x=a時(shí)取得最小值-2，
此時(shí)，f（a）=a²-a-2=0，
∴a=-1或a=2，
不合題意，舍去，
∴a=-1，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)和函數(shù)的值域的求法，屬于中檔題，難度中等．