Question

設(shè)f(x)=a-

2

2x+1

，其中a為常數(shù)；
（1）f（x）為奇函數(shù)，試確定a的值；
（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)定義可得f（-x）=-f（x）恒成立，由此可得a值；
（2）f（x）+a＞0恒成立，可化為2a＞

2

2x+1

恒成立，等價(jià)于2a＞（

2

2x+1

）_max，利用基本函數(shù)的性質(zhì)可求得（

2

2x+1

）_max；

解答： 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，
∴2a=

2

2-x+1

+

2

2x+1

=

2•2x

1+2x

+

2

2x+1

=2，
∴a=1；
（2）f（x）+a＞0恒成立，即a-

2

2x+1

+a＞0，2a＞

2

2x+1

恒成立，等價(jià)于2a＞（

2

2x+1

）_max，
而2^x＞0，2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，
故2a≥2，解得a≥1，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)、恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，恒成立常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，熟記常見基本初等函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)可提高解題速度．