Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R恒有f（x+1）＝f（x﹣1），已知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝（）1﹣x，則

①2是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；

②函數(shù)f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，3）上是增函數(shù)；

③函數(shù)f（x）的最大值是1，最小值是0；

④x＝1是函數(shù)f（x）的一個(gè)對(duì)稱軸；

⑤當(dāng)x∈（3，4）時(shí)，f（x）＝（）x﹣3.

其中所有正確命題的序號(hào)是_____.

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】

①根據(jù)f（x+1）＝f（x﹣1），變形為f（x+2）＝f（x），再利用周期的定義判斷.②易知，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝（）1﹣x，是增函數(shù)，再利用周期性和奇偶性轉(zhuǎn)化判斷.③根據(jù)②的結(jié)論判斷.④根據(jù)②的結(jié)論判斷.⑤設(shè)x∈（3，4）時(shí)，則有4﹣x＝（0，1），再利用周期性和奇偶性再求解.

∵f（x+1）＝f（x﹣1），∴f（x+2）＝f[（x+1）+1]＝f[（x+1）﹣1]＝f（x），即2是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，故①正確；

當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝（）1﹣x為增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）為減函數(shù)，

再由函數(shù)的周期為2，可得（1，2）上是減函數(shù)，在（2，3）上是增函數(shù)，故②正確；

由②得：當(dāng)x＝2k，k∈Z時(shí)，函數(shù)取最小值，當(dāng)x＝2k+1，k∈Z時(shí)，函數(shù)取最大值1，故③錯(cuò)誤；

由②和函數(shù)是偶函數(shù)得x＝k，k∈Z均為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，故④正確；

設(shè)x∈（3，4），則4﹣x∈（0，1），所以f（4﹣x）＝f（﹣x）＝f（x）＝（）1﹣（4﹣x）＝（）x﹣3，故⑤正確

故答案為：①②④⑤