Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1實(shí)軸長(zhǎng)為4，離心率等于

7

2

．
（1）寫出雙曲線方程；
（2）若該雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．求直線A₁P與A₂Q交點(diǎn)的軌跡E的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知得a，b，c的方程組，解之得a，b，c的值，方程可求；
（2）可采用交軌法，即先把A₁P，A₂Q的方程用已知點(diǎn)A₁和A₂、以及P、Q的坐標(biāo)分別表示出來，兩者聯(lián)立，消去x₁，y₁后得到的關(guān)于x，y的方程即為交點(diǎn)的軌跡方程，注意軌跡方程中x，y的范圍．

解答： 解：（1）由已知得

2a=4 c a = 7 2 c2=a2+b2

，解得a=2，c=

7

，b=

3

，
所以方程為

x2

4

-

y2

3

=1；
（2）由A₁、A₂為雙曲線的左、右頂點(diǎn)知，A₁（-2，0），A₂（2，0），又P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）
所以A₁P方程：y=

y1-0

x1+2

(x+2)，A₂Q方程：y=

-y1-0

x1-2

(x-2)，
兩式相乘得y2=

-y12

x12-4

(x2-4)，
而點(diǎn)P（x₁，y₁）在雙曲線上，

x12

4

-

y12

3

=1，
即-y12=3(1-

x12

4

)
故y2=-

3

4

(x2-4)即

x2

4

+

y2

3

=1，
因?yàn)辄c(diǎn)P，Q是雙曲線上的不同兩點(diǎn)，所以它們與點(diǎn)A₁，A₂均不重合，故點(diǎn)A₁和A₂均不在軌跡E上，
過點(diǎn)(0，

3

)及A₂（2，0）的直線l與雙曲線只有唯一交點(diǎn)A₂，故軌跡E不過點(diǎn)(0，

3

)，同理軌跡E也不過點(diǎn)(0，-

3

)．
綜上分析，軌跡E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，（x≠0且x≠±2）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，以及利用交軌法求軌跡方程的問題，利用交軌法求軌跡方程的關(guān)鍵在于先求出產(chǎn)生交點(diǎn)的兩曲線（或直線）的方程，然后兩者聯(lián)立，消去參數(shù)即可，要注意方程中x，y的取值范圍．