Question

7．已知兩點(diǎn)A（-2，0），B（3，1），如果動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|=2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積等于$\frac{104}{9}$π．

Answer 1

分析 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式代入等式|PA|=2|PB|，化簡(jiǎn)整理得（x-$\frac{14}{3}$）²+（y-$\frac{4}{3}$）²=$\frac{104}{9}$，所以點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，求出圓的半徑利用圓面積公式，即可算出所求圖形的面積．

解答 解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
∵A（-2，0）、B（3，1），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|=2|PB|，
∴$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-3）^{2}+（y-1）^{2}}$，平方得（x+2）²+y²=4[（x-3）²+（y-1）²]，
化簡(jiǎn)得（x-$\frac{14}{3}$）²+（y-$\frac{4}{3}$）²=$\frac{104}{9}$，
∴點(diǎn)的軌跡是以（$\frac{14}{3}$，$\frac{4}{3}$）為圓心、$\sqrt{\frac{104}{9}}$為半徑的圓，
因此，點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積S=π•（$\sqrt{\frac{104}{9}}$）²=$\frac{104}{9}$π．
故答案為：$\frac{104}{9}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題給出動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|=2|PB|，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、軌跡所包圍的圖形的面積．著重考查了兩點(diǎn)間的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的面積公式和動(dòng)點(diǎn)軌跡的求法等知識(shí)，屬于中檔題．