Question

已知等差數(shù)列{a_n}（公差不為零）和等差數(shù)列{b_n}，如果關(guān)于x的方程9x²-（a₁+a₂+…a₉）x+b₁+b₂+…b₉=0有解，那么以下九個(gè)方程x²-a₁x+b₁=0，x²-a₂x+b₂=0，x²-a₃x+b₃=0…，x²-a₉x+b₉=0中，無解的方程最多有

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)等差數(shù)列{a_n}（公差d₁不為零）和等差數(shù)列{b_n}的公差為d₂，運(yùn)用求和公式，化簡(jiǎn)可得，a₅²≥4b₅，討論
若d₂=0，則若d₁＞0，若d₁＜0，運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性和二次方程的判別式的符號(hào)，即可得到．

解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}（公差d₁不為零）和等差數(shù)列{b_n}的公差為d₂，
則關(guān)于x的方程9x²-（a₁+a₂+…a₉）x+b₁+b₂+…b₉=0有解，
則（a₁+a₂+…a₉）²-4×9（b₁+b₂+…b₉）≥0，
即有（

9(a1+a9)

2

）²-36×

9(b1+b9)

2

≥0，
即有a₅²≥4b₅，
則第5個(gè)方程有解，
若d₂=0，則若d₁＞0，則a₉＞a₈＞a₇＞a₆＞a₅，
即有5個(gè)方程有解，最多4個(gè)方程無解，
若d₁＜0，則a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅，
即有5個(gè)方程有解，最多4個(gè)方程無解．
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式及運(yùn)用，考查二次方程的解的情況，注意討論公差的符號(hào)，考查推斷能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．