Question

【題目】已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S3＝15，a1，a4，a13成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn大于2020的最小自然數(shù)n.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n+1；（2）10.

【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），由題設(shè)條件列出d的方程，解出d，a1，求出通項(xiàng)公式；

（2）由（1）求得a，再使用分組求和求出Tn，研究其單調(diào)性，求出滿足Tn大于2020的最小自然數(shù)n.

（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），則S3＝3a115，

∴a1+d＝5，a4＝5+2d，a13＝5+11d，

∵a1，a4，a13成等比數(shù)列，

∴（5+2d）2＝（5d）（5+11d），解得d＝0（舍去）或d＝2，

故a1＝5d＝3.

所以an＝3+（n1）×2＝2n+1.

（2）根據(jù)（1）知a2（2nn）+1＝2n+1（2n1），

∴Tn＝（22+23+…+2n+1） [1+3+…+（2n1）]2n+2n24.

∵2nn＞0，

∴a2（2nn）+1＞0，

∴Tn單調(diào)遞增，

又∵T9＜2020，T10＞2020，

所以Tn大于2020的最小自然數(shù)n為10.

【點(diǎn)晴】

本題主要考查等差數(shù)列基本量的運(yùn)算，數(shù)列的分組求和，數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題.