Question

已知函數(shù)f（x）=x²lnx-a（x²-1），a∈R，
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=0時(shí)，f（x）=x²lnx，f′（x）=x（2lnx+1），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）有最小值-

1

2e

．
（2）由已知x≥1時(shí)，f（x）_min＞0，f′（x）=x（2lnx+1-2a），x≥1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=x²lnx，f′（x）=x（2lnx+1），…（2分）
x∈（0，e-

1

2

）時(shí)，f（x）單調(diào)減，x∈（e -

1

2

，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)增，…（4分）
所以當(dāng)x=e-

1

2

時(shí)，f（x）有最小值-

1

2e

．…（5分）
（2）由已知，即x≥1時(shí)，f（x）_min＞0，…（6分）
f′（x）=x（2lnx+1-2a），x≥1，…（8分）
當(dāng)1-2a≥0，即a≤

1

2

時(shí)，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）單調(diào)增
∴f（x）_min=f（1）=0，即a≤

1

2

時(shí)滿足f（x）≥0恒成立．…（10分）
當(dāng)1-2a＜0，即a＞

1

2

時(shí)，由f′（x）=0，得x=ea-

1

2

＞1，
∴x∈(1，ea-

1

2

)時(shí)，f（x）單調(diào)減，即x∈（1，e a-

1

2

）時(shí)，
∴f（x）＜f（1）=0與題設(shè)矛盾，
即a＞

1

2

時(shí)，不能滿足f（x）≥0恒成立．…（12分）
綜上，所求a的取值范圍是a≤

1

2

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．