Question

12．已知函數(shù)y=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{3x-1}-1}$．
（1）求它的定義域和單調(diào)區(qū)間；
（2）若x∈[-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$]時，求它的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，構(gòu)造關(guān)于自變量x的不等式，解得函數(shù)的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”的原則，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性，求出給定區(qū)間上函數(shù)的最值，可得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）由${（\frac{1}{2}）}^{3x-1}$-1≥0得：${（\frac{1}{2}）}^{3x-1}$≥1，
則3x-1≤0，解得：x∈（-∞，$\frac{1}{3}$]，
故函數(shù)=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{3x-1}-1}$的定義域為（-∞，$\frac{1}{3}$]，
由t=3x-1為增函數(shù)，u=${（\frac{1}{2}）}^{t}$為減函數(shù)，故u=${（\frac{1}{2}）}^{3x-1}$為減函數(shù)，
由v=u-1為增函數(shù)，y=$\sqrt{v}$為增函數(shù)，
故函數(shù)y=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{3x-1}-1}$在定義域（-∞，$\frac{1}{3}$]上為減函數(shù)，
即函數(shù)y=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{3x-1}-1}$的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{3}$]，
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$]，由（1）得函數(shù)為減函數(shù)，
則當(dāng)x=-$\frac{2}{3}$時，函數(shù)取最大值$\sqrt{7}$，當(dāng)x=-$\frac{1}{3}$時，函數(shù)取最小值$\sqrt{3}$，
故函數(shù)y=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{3x-1}-1}$，x∈[-$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$]的值域為[$\sqrt{3}$，$\sqrt{7}$]

點評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，考查二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．