Question

【題目】己知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)的最小值為-1，，數(shù)列滿足，，記，表示不超過的最大整數(shù)．證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）函數(shù)求導(dǎo)，討論和兩種情況即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)的最小值點為，得，令，進(jìn)而得，則由歸納可猜想當(dāng)時，，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得，于是，，則，從而利用裂項相消法可得證.

詳解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為.

1、當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)；

2、當(dāng)時，令得，即在上為增函數(shù)；

同理可得在上為減函數(shù).

（Ⅱ）有最小值為-1，由（Ⅰ）知函數(shù)的最小值點為，

即，則，

令，

當(dāng)時，，故在上是減函數(shù)

所以當(dāng)時

∵，∴.（未證明，直接得出不扣分）

則.由得，

從而.∵，∴.

猜想當(dāng)時，.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確.

1、當(dāng)時，猜想正確.

2、假設(shè)時，猜想正確.

即時，.

當(dāng)時，有，

由（Ⅰ）知是上的增函數(shù)，

則，即，

由得.

綜合1、2得：對一切，猜想正確.

即時，.

于是，，則.

故