Question

12．已知a是常數(shù)，f（x）=x²+2|x-1|+3，對任意實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥a都成立
（Ⅰ）求a的取值范圍
（Ⅱ）對任意實(shí)數(shù)x，求證：|x+3|≥a-|x-1|

Answer 1

分析 （Ⅰ）將f（x）寫成分段函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，即可得到a的取值范圍；
（Ⅱ）根據(jù)絕對值的幾何意義，即可得到|x+3|+|x-1|≥|（x+3）-（x-1）|，再由（Ⅰ），即得證．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2|x-1|+3=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+1，x≥1}\\{{x}^{2}-2x+5，x＜1}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥f（1）=4；當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＞4；
∴f（x）的最小值為4，
∵對任意實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥a都成立，∴a≤4，
∴a的取值范圍為（-∞，4]；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得a≤4，
∵|x+3|+|x-1|≥|（x+3）-（x-1）|=4，
∴|x+3|+|x-1|≥a，
∴|x+3|≥a-|x-1|．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值不等式的解法和其幾何意義的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．