Question

18．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，2AC=PC=2，AC⊥BC，D，E，F(xiàn)分別為AC，AB，AP的中點(diǎn)，M，N分別為線段PC，PB上的動(dòng)點(diǎn)，且有MN∥BC，
（Ⅰ）求證：MN⊥平面PAC
（Ⅱ）探究：是否存在這樣的動(dòng)點(diǎn)M，使得二面角E-MN-F為直二面角？若存在，求CM的長(zhǎng)度，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：BC⊥平面PAC，利用MN∥BC，即可證明MN⊥平面PAC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAC，∠DMF是二面角E-MN-F的平面角，由題意，∠DMF=90°，可得M是PC的中點(diǎn)，即可求CM的長(zhǎng)度．

解答 （Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AC⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵M(jìn)N∥BC，
∴MN⊥平面PAC
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）MN⊥平面PAC，
∴MN⊥MF，MN⊥MD，
∴∠DMF是二面角E-MN-F的平面角，
由題意，∠DMF=90°，∴M是PC的中點(diǎn)，
∴CM=$\frac{1}{2}$PC=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查二面角的平面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．