Question

6．關于x的方程x²+2（m+3）x+2m+14=0有兩實根在[0，4）內，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 若方程x²+2（m+3）x+2m+14=0有兩實根在[0，4）內，則函數f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14的有兩個零點在[0，4）內，則$\left\{\begin{array}{l}f（0）=2m+14≥0\\ f（4）=16+8（m+3）+2m+14＞0\\ 0≤-（m+3）＜4\\△=4（m+3）^{2}-4（2m+14）≥0\end{array}\right.$．

解答 解：∵函數f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14的圖象是開口朝上的拋物線，
若方程x²+2（m+3）x+2m+14=0有兩實根在[0，4）內，
則函數f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14的有兩個零點在[0，4）內，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（0）=2m+14≥0\\ f（4）=16+8（m+3）+2m+14＞0\\ 0≤-（m+3）＜4\\△=4（m+3）^{2}-4（2m+14）≥0\end{array}\right.$，
解得：m∈（-$\frac{27}{5}$，-3]

點評 本題考查的知識點是函數的根與函數零點的關系，二次函數的圖象和性質，難度不大，屬于基礎題．