Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為常數(shù)）
（1）若f（-1）=0，且f（x）最小值為0，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，若g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$，已知a＞0，且f（x ）為偶函數(shù)，當(dāng)mn＜0，m+n＞0時(shí)，證明：F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用f（-1）=0和函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），建立方程關(guān)系，即可求出a，b，從而確定F（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，利用g（x）=f（x）-kx的單調(diào)區(qū)間與對(duì)稱軸之間的關(guān)系建立不等式進(jìn)行求解即可．
（3）利用mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函數(shù)，得到b=0，然后判斷F（m）+F（n）的取值．

解答 解：（1）∵f（-1）=0，∴a-b+1=0，①
∵函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），
∴a＞0且判別式△=0，即b²-4a=0，②
由①②得a=1，b=2．
∴f（x）=ax²+bx+1=x²+2x+1．
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+1，x＞0}\\{{-x}^{2}-2x-1，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-$\frac{2-k}{2}$=$\frac{k-2}{2}$，
要使函數(shù)g（x）=f（x）-kx，在x∈[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，
則區(qū)間[-2，2]必在對(duì)稱軸的一側(cè)，
即$\frac{k-2}{2}$≥2或$\frac{k-2}{2}$≤-2，
解得k≥6或k≤-2．
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≥6或k≤-2．
（3）∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
即ax²-bx+1=ax²+bx+1，
∴2bx=0，解得b=0．
∴f（x）=ax²+1．
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{ax}^{2}+1x＞0}\\{-{ax}^{2}-1，x＜0}\end{array}\right.$，
∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，
不妨設(shè)m＞n，則m＞0，n＜0，
∴F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）=a（m-n）（m+n），
∵m+n＞0，a＞0，m-n＞0，
∴F（m）+F（n）=a（m-n）（m+n）＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及二次函數(shù)單調(diào)性與對(duì)稱軸之間的關(guān)系．要求熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)