Question

已知正項數(shù)列{a₁}的首項a₁=1，前n項和S_n滿足a_n=2（

Sn

+

Sn-1

）（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{

1

Sn

}的前n項和為T_n，求證：T_n＜

5

4

（n≥2）．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題（1）先對題目中條件進行變形，得到和式的相關(guān)數(shù)列，研究得出通項公式，然后再利用數(shù)列通項和前n項和的關(guān)系，求出數(shù)列通項公式，得到本題結(jié)論；（2）通過裂項法求和，再進行放縮，得出本題結(jié)論．

解答： 解：（1）

S1

=

a1

=1，
當(dāng)n≥2時，
an=Sn-Sn-1=2(

Sn

+

Sn-1

)，

Sn

=

Sn-1

+2，
∴

Sn

=2n-1，Sn=(2n-1)2(n∈N*)．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=8（n-1）．
an=

1，n=1 8(n-1)，n≥2

．
（2）∵Sn=(2n-1)2＞4n(n-1)，
∴

1

Sn

＜

1

4n(n-1)

=

1

4

(

1

n-1

-

1

n

)，
∴當(dāng)n≥2時，
Tn＜1+

1

4

[

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n-1

-

1

n

]=1+

1

4

×

n-1

n

＜

5

4

．

點評：本題考查了數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、裂項法求和、放縮法證明不等式，本題有一定的思維難度，計算量適中，屬于中檔題．