Question

如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和CB上的點(diǎn)，G，F(xiàn)分別是
CD和AD上的點(diǎn)，且

AE

EB

+

CF

FB

=1，

AH

HD

=

CG

GD

=2，求證：EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：先證P為兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，利用兩個(gè)平面的公共點(diǎn)在兩個(gè)平面的公共直線上，證線共點(diǎn)．

解答： 解：連接EF，GH，
因?yàn)?span id="tudt8qh" class="MathJye">

AE

EB

=

CF

FB

=1，

AH

HD

=

CG

GD

=2，
所以EF∥AC，HG∥AC且EF≠AC   …（2分）
所以EH，F(xiàn)G共面，且EH與FG不平行，…（3分）
不妨設(shè)EH∩FG=P                …（4分）
則P∈EH，EH?面ABD，
所以P∈面ABD；…（6分）
同理P∈面BCD…（8分）
又因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD=BD，所以P∈BD，…（10分）
所以EH，BD，F(xiàn)G三條直線相交于同一點(diǎn)P．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用公理2證明點(diǎn)共線問(wèn)題，考查平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，考查了學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力，本題較好的體現(xiàn)了線線、線面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化．