Question

13．不等式ax²+4x+a＜1+x²對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （3，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，-1）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得a＜1-$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$的最小值，由f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，f（0）=0，討論x＞0，x＜0，運(yùn)用基本不等式即可得到最值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答 解：不等式ax²+4x+a＜1+x²對(duì)一切x∈R恒成立，
即為a＜1-$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$的最小值，
由f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，f（0）=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{4}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1取得最大值2，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=$\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$≥-$\frac{4}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=-2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-1取得最小值-2，
即有a＜1-2=-1，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式求得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．