Question

17．已知函數(shù)f（x）=αx-lnx（α∈R）．
（I）α=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）的圖象恒在x軸上方．求α的取值范圍；
（Ⅲ）證明：2015²⁰¹⁶＞2016²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 （I）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求x的范圍即可；
（Ⅱ）α＞0，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，$\frac{1}{α}$），單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{1}{α}$，+∞），f（x）_min=f（$\frac{1}{α}$）=1+lnα＞0，即可求α的取值范圍；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，g（x）的單調(diào)減區(qū)間是（e，+∞），即可證明：2015²⁰¹⁶＞2016²⁰¹⁵．

解答 （I）解：α=1時(shí)，∵f（x）=x-lnx，∴f'（x）=$\frac{x-1}{x}$
令f'（x）＜0，則0＜x＜1，f'（x）＞0，x＞1
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）；
（Ⅱ）解：f'（x）=$\frac{αx-1}{x}$，
α≤0，f'（x）＜0，f（x）的圖象不恒在x軸上方；
α＞0，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，$\frac{1}{α}$），單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{1}{α}$，+∞），∴f（x）_min=f（$\frac{1}{α}$）=1+lnα＞0
∴α＞$\frac{1}{e}$，
∴α＞$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）的圖象恒在x軸上方；
（Ⅲ）證明：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴g（x）的單調(diào)減區(qū)間是（e，+∞）
∴$\frac{ln2015}{2015}＞\frac{ln2016}{2016}$
∴2015²⁰¹⁶＞2016²⁰¹⁵．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最小值，正確求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．