Question

8．長為3的線段兩端點(diǎn)A，B分別在x軸正半軸和y軸的正半軸上滑動，$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）以直線AB的傾斜角α為參數(shù)，寫出曲線C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)P到點(diǎn)D（0，-1）距離d的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)P（x，y），則根據(jù)題設(shè)畫圖，可知：x=$\frac{2}{3}$|AB|cos（π-α），y=$\frac{1}{3}|AB|sin（π-α）$，化簡整理即可得出參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)P（-2cosα，sinα），可得|PD|=$\sqrt{（-2cosα）^{2}+（sinα+1）^{2}}$=$\sqrt{-3（sinα-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{16}{3}}$，利用二次函數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則根據(jù)題設(shè)畫圖，
可知：x=$\frac{2}{3}$|AB|cos（π-α）=-2cosα，y=$\frac{1}{3}|AB|sin（π-α）$=sinα，
曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，且$\frac{π}{2}＜α＜π$）；
（Ⅱ）設(shè)P（-2cosα，sinα），則
|PD|=$\sqrt{（-2cosα）^{2}+（sinα+1）^{2}}$
=$\sqrt{-3si{n}^{2}α+2sinα+5}$
=$\sqrt{-3（sinα-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{16}{3}}$，
∵$\frac{π}{2}＜α＜π$，∴sinα∈（0，1），
∴$2＜|PD|≤\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故d的取值范圍是$（2，\frac{4\sqrt{3}}{3}]$．

點(diǎn)評 本題考查了直線的參數(shù)方程、兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)與三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．