Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=pa_n+2ⁿ（n∈N^*），其中p為常數(shù)．若實(shí)數(shù)p使得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列或等比數(shù)列，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則滿足S_n＞2014的最小正整數(shù)n的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：依題意，可求得a₂=2p+2，a₃=2p²+2p+4；分①若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，②若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列討論，可求得p=1，繼而可得a_n=2ⁿ，利等比數(shù)列的求和公式即可求得答案．

解答： 解：∵a₁=2，a_n+1=pa_n+2ⁿ（n∈N^*），
∴a₂=pa₁+2=2p+2，
a₃=pa₂+2²=p（2p+2）+4=2p²+2p+4；
①若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則2a₂=a₁+a₃，即2（2p+2）=2+2p²+2p+4=2p²+2p+6，
整理得：p²-p+1=(p-

1

2

)2+

3

4

=0，此方程無實(shí)數(shù)解，故數(shù)列{a_n}不可能為等差數(shù)列；
②若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則a22=a₁•a₃，即（2p+2）²=2（2p²+2p+4），
解得：p=1．
∴a_n+1=a_n+2ⁿ，
∴a_n=a_n-1+2^n-1=a_n-2+2^n-2+2^n-1=…=2+2¹+2²+…+2^n-1=2+

2(1-2n-1)

1-2

=2ⁿ，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=2¹+2²+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，
∵S₁₀=2¹¹-2=2048-2=2046＞2014，S₉=2¹⁰-2=1024-2=1022＜2014，
∴滿足S_n＞2014的最小正整數(shù)n的值為10，
故答案為：10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系與等比關(guān)系的確定，考查等比數(shù)列的求和公式，求得p=1是關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．