Question

已知命題P：函數(shù)f（x）=x²-4mx+4m²+2在區(qū)間[-1，3]上的最小值等于2；命題Q：不等式x+|x-m|＞1對(duì)任意x∈R恒成立．如果上述兩個(gè)命題中有且僅有一個(gè)真命題，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出p，q為真命題時(shí)m的條件，將兩個(gè)命題中有且僅有一個(gè)真命題轉(zhuǎn)化為①P真Q假②P假Q(mào)真兩類，再將結(jié)果合并即可．

解答：解：若命題P為真，由f（x）=（x-2m）²+2，對(duì)稱軸x=2m
當(dāng)2m≤1即m≤-

1

2

時(shí)，f（x）在[-1，3]上為增函數(shù)f（x）_min=f（-1）=4m²+4m+3=2即4m²+4m+1=0
得m=-

1

2

當(dāng)-1＜2m≤3即-

1

2

＜m≤

3

2

時(shí)f（x）_min=f（2m）=2符合
當(dāng)2m＞3即m＞

3

2

時(shí)，f（x）在[-1，3]上為減函數(shù)f（x）_min=f（3）=4m²-12m+11=2即（2m-3）²=0m=

3

2

不符合
綜上可知，若P為真，則-

1

2

≤m≤

3

2

…（4分）
又若命題Q為真，由x+|x-m|=

2x-m(x≥m) m(x＜m)

∴要不等式x+|x-m|＞1對(duì)任意x∈R恒成立，則m＞1
∴若Q為真，則則m＞1…（7分）
而上述兩個(gè)命題中有且僅有一個(gè)真命題
∴①當(dāng)P真Q假，有

- 1 2 ≤m≤ 3 2 m≤1

得-

1

2

≤m≤1…（9分）
②當(dāng)P假Q(mào)真，有

m＜- 1 2 或m≥ 3 2 m＞1

得m＞

3

2

…（11分）
綜合①②知，滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-

1

2

，1]∪(

3

2

，+∞)…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合命題真假成立才條件，一般轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單命題真假處理．考查分類討論、計(jì)算、邏輯思維能力．