Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2

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，點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．
（Ⅰ）證明：GH∥EF；
（Ⅱ）若EB=2，求四邊形GEFH的面積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明GH∥EF，只需證明EF∥平面PBC，只需證明BC∥EF，利用BC∥平面GEFH即可；
（Ⅱ）求出四邊形GEFH的上底、下底及高，即可求出面積．

解答： （Ⅰ）證明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC?平面ABCD，
∴BC∥EF，
∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，
∴EF∥平面PBC，
∵平面EFGH∩平面PBC=GH，
∴EF∥GH；
（Ⅱ）解：連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK．
∵PA=PC，O為AC中點，
∴PO⊥AC，
同理可得PO⊥BD，
又∵BD∩AC=O，AC?底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO?平面GEFH，
∴PO∥平面GEFH，
∵平面PBD∩平面GEFH=GK，
∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD
∴GK是梯形GEFH的高
∵AB=8，EB=2，
∴

EB

AB

=

KB

DB

=

1

4

，
∴KB=

1

4

DB=

1

2

OB，即K為OB中點，
又∵PO∥GK，
∴GK=

1

2

PO，即G為PB中點，且GH=

1

2

BC=4，
由已知可得OB=4

2

，PO=

PB2-OB2

=

68-32

=6，
∴GK=3，
故四邊形GEFH的面積S=

1

2

(GH+EF)×GK=

1

2

(4+8)×3=18．

點評：本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查梯形面積的計算，正確運用線面平行的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．